题目内容
【题目】在直三棱柱
中,底面为等腰直角三角形, 
, 
, 若
、
、
别是棱
、
、
的中点,则下列四个命题:
；
②三棱锥
的外接球的表面积为
；
③三棱锥
的体积为
；
④直线
与平面
所成角为
其中正确的命题有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)
【答案】①②③
【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱
：
其中，底面为等腰直角三角形, 
, 
， 
、
、
别是棱
、
、
的中点.
对于①，取
中点
，连接
， 
交
于点
，连接
.
∵
为
中点， 
， 
∴四边形
为正方形，则
在
中， 
， 
分别为
， 
的中点，则
∥
，且
.
∵
为
的中点，且
∥
∴
∥
且
∴四边形
为平行四边形
∴
∥
∴
，故正确；
对于②，易得
，则
.
∵
∴
，即
∵
∴三棱锥
的外接球的球心在线段
的中点处，则外接球的半径为
∴三棱锥
的外接球的表面积为
，故正确；
对于③，易得
， 
.
在
中， 
， 
， 
，同理可得
，则三棱锥
为正四面体，其体积为
，故正确；
对于④，直线
在平面
上的投影为直线
，则
为直线
与平面
所成的角，在
中， 
，故不正确.
故答案为①②③.
【题目】某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要1万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要3万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：
流失教师数 | 6 | 7 | 8 | 9 |
频数 | 10 | 15 | 15 | 10 |
以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率，记
表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数， 
表示今年为两所县乡中学招聘的教师数．为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘．
（1）求
的分布列；
（2）若要求
，确定
的最小值；
（3）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
