Question

13．以下命题：
①若x≠1或y≠2，则x+y≠3；
②若空间向量$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底，则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$共线；
③若函数y=f（x）在x=x₀处导数等于0，则该函数在该点处取得极值；
④若A、B为两个定点，K为正常数，若|PA|+|PB|=K，则动点P的轨迹是椭圆；
⑤已知抛物线y²=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切；
其中真命题为②⑤．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 写出原命题的逆否命题，并判断真假，可判断①；根据基底的定义，可判断②；举出三次幂函数的反例，可判断③；根据椭圆的定义，可判断④；根据抛物线的性质，可判断⑤．

解答 解：对于①，若x≠1或y≠2，则x+y≠3的逆否命题为：若x+y=3，则x=1且y=2，为假命题，故①也为假命题；
对于②，若空间向量$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底，则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$共线，故②正确；
对于③，若函数y=f（x）在x=x₀处导数等于0，则该函数在该点处不一定取得极值，反例y=f（x）=x³，故③错误；
对于④，若A、B为两个定点，K为正常数，若|PA|+|PB|=K＞|AB|，则动点P的轨迹是椭圆，
若|PA|+|PB|=K=|AB|，则动点P的轨迹是线段，故④错误；
对于⑤，已知抛物线y²=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则圆心到准线的距离等于A，B两点到准线距离和的一半，
即圆心到准线的距离等于$\frac{1}{2}$|AB|=r，则此圆与准线相切，故⑤正确；
故真命题为：②⑤，
故答案为：②⑤．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了四种命题，基底的定义，函数极值点的条件，椭圆的定义，抛物线的性质等知识点，难度中档．