题目内容

【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)满足,对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(﹣2)=0,求f(x)的表达式;
(3)在(2)的条件下,设g(x)=f(x)﹣ x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y= 的上方,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:由条件知:f(2)=4a+2b+c≥2成立,

又另取x=2时, 成立,

∴f(2)=2


(2)解:∵ ,∴ ,4a+c=1,

又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b﹣1)x+c≥0在R上恒成立,

∴a>0且△=(b﹣1)2﹣4ac≤0,

解得:

所以


(3)解:由题意可得:g(x)= + 在[0,+∞)时必须恒成立,即x2+4(1﹣m)x+2>0在[0,+∞)时恒成立,

则有以下两种情况:

①△<0,即16(1﹣m)2﹣8<0,解得

,解得:

综上所述:


【解析】(1)由已知f(2)≥2成立,又由f(x))≤ (x+2)2成立,得f(2)≤ =2,根据两种情况可得f(2)值;f(﹣2)=0,由上述证明知f(2)=2,f(x)的表达式中有三个未知数,由两函数值只能得出两个方程,再对任意实数x,都有f(x)≥x,这一恒成立的关系得到 0,由此可以得到a= ,将此三方程联立可解出三个参数的值,求出f(x)的表达式;(3)g(x)= + 在[0,+∞)时必须恒成立,即x2+4(1﹣m)x+2>0在x∈[0,+∞)恒成立.转化为二次函数图象与x轴在x∈[0,+∞)无交点的问题,由于g(x)的单调性不确定,故本题要分两种情况讨论,一种是对称轴在y轴右侧,此时需要判别式小于0,一类是判别式大于0,对称轴小于0,且x=0处的函数值大于等于0,转化出相应的不等式求解.

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