题目内容
【题目】已知椭圆C： (
＞b＞0)的离心率为
，A(
,0)， B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
【答案】(1) 
(2)见解析.
【解析】试题分析：
运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合
的关系，解方程可得
,进而得到椭圆方程。
设椭圆上点
可得
,求出直线
的方程，令
求得
,求出直线
的方程，令
求得
，化简整理，即可得到
的定值
(1)解 由已知
＝
，
ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝
.
∴椭圆方程为
＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设椭圆上一点P(x0，y0)，则
＋y
＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝
(x－2)，
令x＝0得yM＝
.
从而|BM|＝|1－yM|＝
.
直线PB方程为y＝
x＋1.
令y＝0得xN＝
.
∴|AN|＝|2－xN|＝
.
∴|AN|·|BM|＝·
＝
·
＝
＝
＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
∴|AN|·|BM|＝4.
故|AN|·|BM|为定值．
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