题目内容
如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB1,AD2,SA1, 且SA⊥底面ABCD,若P为直线BC上的一点,使得.
(1)求证:P为线段BC的中点;
(2)求点P到平面SCD的距离.
(1)求证:P为线段BC的中点;
(2)求点P到平面SCD的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1), ………1分
设P(1, , 0)
(1) , ………3分
且 则
即 ………5分
∴ 因此P为线段BC的中点. ……6分
(2) 设是平面SCD的一个法向量,
由(1)知:,
由, 得
∴ , 取, 则 得 ………9分
设点P到平面SCD的距离为,则
因此点P到平面SCD的距离为.
则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1), ………1分
设P(1, , 0)
(1) , ………3分
且 则
即 ………5分
∴ 因此P为线段BC的中点. ……6分
(2) 设是平面SCD的一个法向量,
由(1)知:,
由, 得
∴ , 取, 则 得 ………9分
设点P到平面SCD的距离为,则
因此点P到平面SCD的距离为.
略
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