Question

3．已知函数f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x），则以下4个命题：
①f（x）的单调减区间是（-$\frac{2}{3}$，2）；
②f（x）的极小值是-15；
③f（x）有且只有一个零点；
④当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x=-$\frac{2}{3}$，x₂=2，分别求出函数的极大值和极小值，知①②③正确；由a＞2，x＞2且x≠a，令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），利用导数证明g_min（x）＞0即可0，故④正确

解答 解：f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x）=3x²-4x-4．
令f′（x）=0，解得x=-$\frac{2}{3}$，x=2，
当f′（x）＞0时，即x＜-$\frac{2}{3}$，或x＞2时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即-$\frac{2}{3}$＜x＜2时，函数单调递减；
故当x=2时，函数有极小值，极小值为f（-2）=-15，当x=-$\frac{2}{3}$时，函数有极大值，极大值为f（$\frac{2}{3}$）＜0，
故函数只有一个零点，
①②③正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），
则g'（x）=3x²-4x-4-（3a²-4a-4），记g'（x）=h（x），
因为当x＞2时，h'（x）=6x-4＞0，则h（x）在（2，+∞）单调递增，
又因为g'（a）=h（a）=0，
所以当2＜x＜a时，g'（x）＜0，当x＞a时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（2，a）递减，在（a，+∞）递增，又x≠a，
所以g（x）＞g（a）=0成立，故④正确；
所以中真命题的个数为4个，
故选：D

点评 本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．