Question

7．已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是DB的中点，直线A₁C交平面C₁BD于点M，判断下列结论是否正确：
（1）C₁，M，O三点共线；
（2）C₁，M，O，C四点共面；
（3）C₁，O，A₁，M四点共面；
（4）D，D₁，O，M四点共面．

Answer 1

分析 由已知得C₁，M，O是平面ACC₁和平面BDC₁的公共点，由公理三得C₁，M，O三点共线，故（1）正确；由直线与直线外一点确定一个平面，得到（2）和（3）正确；由C₁O与DD₁是异面直线，得（4）错误．

解答 解：（1）∵O是DB的中点，∴AC∩BD=O，
∴O∈AC，且O∈BD，
∵AC?平面ACC₁，BD?平面BDC₁，
∴O∈平面ACC₁，且O∈平面BDC₁，
∵直线A₁C交平面C₁BD于点M，
∴M∈A₁C，且M∈平面BDC₁，
∵A₁C?平面ACC₁，∴M∈平面ACC₁，
∵C₁∈平面ACC₁，且C₁∈平面BDC₁，
∴C₁，M，O是平面ACC₁和平面BDC₁的公共点，
∴C₁，M，O三点共线，故（1）正确．
（2）∵C₁，M，O三点共线，且C不在这条直线上，
∴由直线与直线外一点确定一个平面，得C₁，M，O，C四点共面，故（2）正确．
（3）∵C₁，M，O三点共线，且A₁不在这条直线上，
∴由直线与直线外一点确定一个平面，得C₁，O，A₁，M四点共面，故（3）正确．
（4）∵C₁O与DD₁是异面直线，M∈C₁O，
∴D，D₁，O，M四点不共面，故（4）错误．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及其推论的合理运用．