Question

3．试判断函数y=-x³的单调性并证明．

Answer 1

分析 利用单调性的定义，即可证明函数y=-x³在定义域R上的单调性．

解答 解：函数y=f（x）=-x³是定义域R上的减函数，证明如下；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-${{x}_{1}}^{3}$-（-${{x}_{2}}^{3}$）=${{x}_{2}}^{3}$-${{x}_{1}}^{3}$=（x₂-x₁）（${{x}_{2}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{1}}^{2}$）=（x₂-x₁）[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$]，
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数y=f（x）是定义域R上的减函数．

点评 本题考查了利用函数的单调性定义来判断函数的单调性问题，是基础题目．