Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$．

Answer 1

分析 |$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，两边平方化为t²-$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1≥0恒成立，可得△≤0，解出即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${t}^{2}{\overrightarrow{e}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{e}}^{2}$，
化为t²-$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1≥0恒成立，
∴△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}）^{2}$-4（$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1）≤0，
化为$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}-1）^{2}≤$0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．