已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)若过F1的直线与椭圆交于A.B两点.且△ABF2的周长为8.求椭圆C的标准方程,与椭圆C交于不同的两点M.N.以MN为直径的圆与椭圆C的交点为P.求△MNP的面积S(t)的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）若过F₁的直线与椭圆交于A、B两点，且△ABF₂的周长为8，求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：x=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点M、N，以MN为直径的圆与椭圆C的交点为P（不同于M、N），求△MNP的面积S（t）的最大值和此时t的值．

分析（1）由过F₁的直线与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的周长为8，可得4a=8，又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可．
（2）0＜t＜2．把x=t代入椭圆方程可得y²=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，可得M$（t，\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，$N（t，-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$．以MN为直径的圆的标准方程为：（x-t）²+y²=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．与椭圆方程联立可得：3x²-8tx+5t²=0，解得x_P=$\frac{5t}{3}$≤2，$0＜t≤\frac{6}{5}$．因此△MNP的面积S（t）=$\frac{1}{2}|MN|•{x}_{P}$=$\frac{1}{3}\sqrt{-（{t}^{2}-2）^{2}+4}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答解：（1）∵过F₁的直线与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的周长为8，
∴4a=8，解得a=2．
∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）0＜t＜2．
把x=t代入椭圆方程可得y²=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$，∴y=±$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$．M$（t，\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，$N（t，-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$．
∴以MN为直径的圆的标准方程为：（x-t）²+y²=1-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-t）^{2}+{y}^{2}=1-\frac{{t}^{2}}{4}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为3x²-8tx+5t²=0，
解得x=t，或x=$\frac{5t}{3}$．
∴x_P=$\frac{5t}{3}$．
∴$\frac{5t}{3}$≤2，解得$0＜t≤\frac{6}{5}$．
∴△MNP的面积S（t）=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}×（\frac{5t}{3}-t）$=$\frac{1}{3}\sqrt{4-{t}^{2}}•t$=$\frac{1}{3}\sqrt{-（{t}^{2}-2）^{2}+4}$，
∵h（t）=-（t²-2）²+4在$0＜t≤\frac{6}{5}$内单调递增，
∴当t=$\frac{6}{5}$时，h（t）取得最大值，此时S（t）也取得最大值$\frac{16}{25}$．