题目内容
已知四面体ABCD中，BD=
，BC=DC=1，其余棱长均为2，且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
| 3 |
A．
| B．
| C．
| D．
|
设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，如图．
由正弦定理得：2BE=
=
=2，
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=
=
=
，
设OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB2=OE2+BE2，
即R2=12+（
-R）2，
∴R=
则这个球的表面积是4πR2=
，
故选D．
由正弦定理得：2BE=
| BD |
| sin∠BCD |
| ||
| sin120° |
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=
| AB2-BE2 |
| 4-1 |
| 3 |
设OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB2=OE2+BE2，
即R2=12+（
| 3 |
∴R=
| 2 | ||
|
则这个球的表面积是4πR2=
| 16π |
| 3 |
故选D．
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