题目内容
已知四面体ABCD中,BD=
,BC=DC=1,其余棱长均为2,且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上,则这个球的表面积是( )

3 |
A.
| B.
| C.
| D.
|

设A在底面BCD上的射影为E,球的球心为O,如图.
由正弦定理得:2BE=
=
=2,
∴BE=1,
在直角三角形ABE中,AE=
=
=
,
设OA=OB=R,在直角三角形BEO中,OB2=OE2+BE2,
即R2=12+(
-R)2,
∴R=
则这个球的表面积是4πR2=
,
故选D.

由正弦定理得:2BE=
BD |
sin∠BCD |
| ||
sin120° |
∴BE=1,
在直角三角形ABE中,AE=
AB2-BE2 |
4-1 |
3 |
设OA=OB=R,在直角三角形BEO中,OB2=OE2+BE2,
即R2=12+(
3 |
∴R=
2 | ||
|
则这个球的表面积是4πR2=
16π |
3 |
故选D.


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