Question

（本小题12分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°。
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D-PC-A的大小的正切值；
（3）求点B到平面PCD的距离。

Answer 1

（1）同解析（2）二面角D-PC-A的大小的正切值为2。（3）即点B到平面PCD的距离为。

解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
∴ΔADC为等边三角形，且AC=1，取AC的中点O，则DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH
由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角
由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2
∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。
（3）设点B到平面PCD的距离为d，又AB∥平面PCD
∴V_A-PCD=V_P-ACD，即
∴ 即点B到平面PCD的距离为。