题目内容
(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:.
(Ⅰ)的单调递增区间是,的单调递减区间是.
(Ⅱ). (Ⅲ)见解析。
解析试题分析:(1)求出函数的导数,只要解导数的不等式即可,根据导数与0的关系判断函数的单调性;
(2)函数f(|x|)是偶函数,只要f(x)>0对任意x≥0恒成立即可,等价于f(x)在[0,+∞)的最小值大于零.
(3),
,利用指数不等式放缩的都证明。
解:(Ⅰ)由得,所以.
由得,故的单调递增区间是,
由得,故的单调递减区间是.(6分)(3分)
(Ⅱ)由可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意成立.(8分)(5分)
由得.
①当时,.此时在上单调递增.
故,符合题意. (10分)(7分)
②当时,.当变化时的变化情况如下表单调递减 极小值 单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又.(13分)(9分)
综合①,②得,实数的取值范围是.(14分)(10分)
(Ⅲ)
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