题目内容
【题目】如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠ BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.
(1)求证:直线DE与平面FGH平行;
(2)若点P在直线GF上,且二面角D-BP-A的大小为,试确定点P的位置.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
取AD中点M,易得M在平面FHG。另一方面,MG∥DE。故直线DE与平面FGH平行
以A为坐标原点。建立合适的坐标系,设=λ
=(0,2λ,0),求出平面PBD的一个法向量n1=(5-2λ,
,2
)。又平面ABP的一个法向量为n2=(0,0,1),又cos<n1,n2>=
,即可得出λ的值。进而可求出P点坐标。
(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG.
∵G,H分别是AE,BC的中点,
∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.
又MG∥DE,且DE平面FGH,MG平面FGH,
∴DE∥平面FGH.
(2)如下图
在平面ABE内,过A作AB的垂线,记为AP,则AP⊥平面ABCD.
以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(
,-1,0),F(
,1,0).
则=(0,2,0),
=(0,-4,2),
=(
,-5,0).
设=λ
=(0,2λ,0),
则=(
,2λ-5,0).
设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z),
则
取y=,得z=2
,x=5-2λ,
故n1=(5-2λ,,2
).
又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),
因此cos<n1,n2>=,解得λ=1或λ=4.
故=4
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