题目内容
【题目】已知为函数
的导函数,
.
(1)求的单调区间;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围 .
【答案】(1)在上单调递减; 在
上单调递增.(2)
【解析】分析:(1)首先令,求得
,再对函数求导,令
,得
,从而确定函数解析式,并求得
,之后根据导数的符号对函数的单调性的决定性作用,求得函数的单调区间;
(2)构造新函数,将不等式恒成立问题向函数的最值转化,对参数进行分类讨论,确定函数的单调区间,确定函数的最值点,最后求得结果.
详解:(1)由,得
.
因为,所以
,解得
.
所以,
,
当时,
,则函数
在
上单调递减;
当时,
,则函数
在
上单调递增.
(2)令
,根据题意,当
时,
恒成立.
.
①当,
时,
恒成立,
所以在
上是增函数,且
,所以不符合题意;
②当,
时,
恒成立,
所以在
上是增函数,且
所以不符合题意;
③当时,因为
,所有恒有
,故
在
上是减函数,于是“
对
任意都成立”的充要条件是
,
即,解得
,故
.
综上, 的取值范围是
.
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