题目内容
如图，椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 4 |
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
3
| ||
| 5 |
（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，∴2b=
•2a，则a=3b．
∴c=
=2
b，
又椭圆C1右焦点到右准线的距离为
，
∴
-c=
=
，∴b=1，则a=3，
∴椭圆方程为
+y2=1．
（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，
由
得
或
∴P(
，
)，
用-
去代k，得M(
，
)，
kPM=
=
，
∴PM：y-
=
(x+
)，即y=
x+
，
∴直线PM经过定点T(0，
)．
②由
得
或
∴A(
，
)，
则直线AB：y=
x，
设t=
，则t∈R，直线PM：y=tx+
，直线AB：y=5tx，
假设存在圆心为（m，0），半径为
的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，
则（i）
＜
，（ii）
＜
．
由（i）得25t2(m2-
)＜
对t∈R恒成立，则m2≤
，
由（ii）得，(m2-
)t2+
mt-
＜0对t∈R恒成立，
当m2=
时，不合题意；当m2＜
时，△=(
m)2-4(m2-
)(-
)＜0，得m2＜
，即-
＜m＜
，
∴存在圆心为（m，0），半径为
的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为(-
，
)．
| 1 |
| 3 |
∴c=
| a2-b2 |
| 2 |
又椭圆C1右焦点到右准线的距离为
| ||
| 4 |
∴
| a2 |
| c |
| b2 |
| c |
| ||
| 4 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 9 |
（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，
由
|
|
|
∴P(
| 18k |
| 9k2+1 |
| 9k2-1 |
| 9k2+1 |
用-
| 1 |
| k |
| -18k |
| k2+9 |
| 9-k2 |
| k2+9 |
kPM=
| ||||
|
| k2-1 |
| 10k |
∴PM：y-
| 9-k2 |
| k2+9 |
| k2-1 |
| 10k |
| 18k |
| k2+9 |
| k2-1 |
| 10k |
| 4 |
| 5 |
∴直线PM经过定点T(0，
| 4 |
| 5 |
②由
|
|
|
∴A(
| 2k |
| 1+k2 |
| k2-1 |
| k2+1 |
则直线AB：y=
| k2-1 |
| 2k |
设t=
| k2-1 |
| 10k |
| 4 |
| 5 |
假设存在圆心为（m，0），半径为
3
| ||
| 5 |
则（i）
| |5tm| | ||
|
3
| ||
| 5 |
|tm+
| ||
|
3
| ||
| 5 |
由（i）得25t2(m2-
| 18 |
| 25 |
| 18 |
| 25 |
| 18 |
| 25 |
由（ii）得，(m2-
| 18 |
| 25 |
| 8 |
| 5 |
| 2 |
| 25 |
当m2=
| 18 |
| 25 |
| 18 |
| 25 |
| 8 |
| 5 |
| 18 |
| 25 |
| 2 |
| 25 |
| 2 |
| 25 |
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
∴存在圆心为（m，0），半径为
3
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
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