题目内容

【题目】如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2. (Ⅰ)证明:平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)求正四棱锥P﹣ABCD的高h,使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是

【答案】证明:(Ⅰ)∵几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成,

∴AD⊥AF,AD⊥AB,

又AF∩AB=A,

∴AD⊥平面ABEF,

又AD平面PAD,

∴平面PAD⊥平面ABFE.

(Ⅱ)解:以A 为原点,AB、AE、AD的正方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz

设正四棱棱的高为h,AE=AD=2,

则A(0,0,0),F(2,2,0),C(2,0,2),P(1,﹣1,1)

设平面ACF的一个法向量 =(x,y,z),

=(2,2,0), =(2,0,2),

,取x=1,得 =(1,﹣1,﹣1),

设平面ACP的一个法向量 =(a,b,c),

,取b=1,则 =(﹣1,1,1+h),

二面角C﹣AF﹣P的余弦值

∴|cos< >|= = =

解得h=1.


【解析】(Ⅰ)推导出AD⊥AF,AD⊥AB,从而AD⊥平面ABEF,由此能证明平面PAD⊥平面ABFE.(Ⅱ)以A 为原点,AB、AE、AD的正方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出h的值.

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