已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1.若直线l1过原点.直线l2与直线l1相交于点P.丨$\overrightarrow{OP}$丨=1.且l1⊥l2.直线l2与椭圆交于A.B两点.问是否存在这样的直线l2.使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立.若存在.求出直线l2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，若直线l₁过原点，直线l₂与直线l₁相交于点P，丨$\overrightarrow{OP}$丨=1，且l₁⊥l₂，直线l₂与椭圆交于A、B两点，问是否存在这样的直线l₂，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立，若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，请说明理由．

分析分类讨论，根据$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1，丨$\overrightarrow{OP}$丨=1进行转化，将直线l₂的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出结论．

解答解：假设存在直线l₂，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），Q（m，n），且m²+n²=1，
则直线l₁的方程为nx-my=0，直线l₂的方程为mx+ny=1．
（1）当n=0时，此时直线l₂的方程为x=±1，可得A（1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
代入$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$≠1，不符题意；  …（5分）
（2）当n≠0时，将直线l₂的方程为mx+ny=1与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1联立，
又m²+n²=1，得（1+m²）x²-4mx+2-8n²=0．…（6分）
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2-8{n}^{2}}{1+{m}^{2}}$．  …（7分）
又∵$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1，
∴x₁x₂+y₁y₂+2=m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）．
又 mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1
∴m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．    …（9分）
∴n²x₁x₂+1+m²x₁x₂-m（x₁+x₂）=0．
∴x₁x₂+1-m（x₁+x₂）=0．   …（11分）
∴-5n²=0．
∴n=0这与n≠0矛盾．   …（12分）
综上可知，不存在这样的直线l₂，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立．