Question

10．2014年夏天，云南省鲁甸县发生6.5级地震，造成许多人员伤亡．某医院迅速组织了甲、乙两个医疗队到鲁甸县去抗震救灾．甲、乙两个医疗队的人员分布情况如表．鲁甸县的某乡村由于地理位置偏远，当地医疗人员少且医疗技术落后，故要利用分层抽样的方法在甲、乙两队中各选3名医生到该乡村帮助当地医疗人员救护受伤人员．

医疗队\性别	男医生	女医师
甲	6	4
乙	3	2

（1）求从甲队中抽取的医生中至少有1名是女医生的概率；
（2）记X表示抽取到男医生的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用分层抽样，抽取的3名医生中，在甲队中抽取了2人，在乙队中抽取了1人，由此能求出从甲队中抽取的医生中至少有1名女医生的概率．
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）利用分层抽样，抽取的3名医生中，在甲队中抽取了2人，
在乙队中抽取了1人，则从甲队中抽取的医生中至少有1名女医生的概率为：
p=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}$=$\frac{4}{75}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}$=$\frac{22}{75}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}$=$\frac{34}{75}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{1}{5}$

EX=$0×\frac{4}{75}+1×\frac{22}{75}+2×\frac{34}{75}+3×\frac{1}{5}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．