Question

12．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试的成绩情况如下表所示：

组别	平均数	标准差
第一组	90	4
第二组	80	6

求这次考试全班的平均成绩和标准差．（ 注：平均数$\overline{x}=\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$，
标准差$s=\sqrt{\frac{1}{n}[{（{x_1}-{{\overline{x）}}^2}+{{（{x_2}-\bar\overline{x}）}^2}+…+{{（{x_n}-\bar\overline{x}）}^2}}]}=\sqrt{\frac{1}{n}[{（x_1^2+x_2^2+…+x_n^2）-n{{\bar\overline{x}}^2}}]}$）

Answer 1

分析 根据平均数与方差、标准差的公式，进行计算即可．

解答 解：设第一组同学的分数为a_i（1≤i≤20），平均分为$\overline{a}$；
第二组同学的分数为b_i（1≤i≤20），平均分为$\overline{b}$；
根据题意得，$\frac{1}{20}$（a₁+a₂+…+a₂₀）=90，
∴a₁+a₂+…+a₂₀=1800；
同理，b₁+b₂+…+b₂₀=1600，
∴全班同学的平均成绩为
$\overline{x}$=$\frac{{（a}_{1}{+a}_{2}+…{+a}_{20}）+{（b}_{1}{+b}_{2}+…{+b}_{20}）}{20+20}$=85，
又$\sqrt{\frac{1}{20}{{（a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}+…{{+a}_{20}}^{2}）{-\overline{a}}^{2}}$=4，
∴${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+…+${{a}_{20}}^{2}$=162320，
同理${{b}_{1}}^{2}$+${{b}_{2}}^{2}$+…+${{b}_{20}}^{2}$=128720，
∴全班分数的标准差为
s=$\sqrt{\frac{1}{40}{{（a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}+…{{+a}_{20}}^{2}{{+b}_{1}}^{2}+…{{+b}_{20}}^{2}）{-\overline{x}}^{2}}$=$\sqrt{51}$．

点评 本题考查了平均数、方差与标准差的计算问题，是基础题目．