Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=55，a_n+1=a_n+2n-1，n∈N^*，则$\frac{a_n}{n}$的最小值为13．

Answer 1

分析 通过a_n+1=a_n+2n-1可知a_n+1-a_n=2n-1，利用累加法可知a_n-a₁=（n-1）²，进而$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{56}{n}$-2，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2n-1，
∴a_n+1-a_n=2n-1，
∴a_n-a_n-1=2n-3，
a_n-1-a_n-2=2n-5，
…
a₃-a₂=3，
a₂-a₁=1，
累加得：a_n-a₁=1+3+5+…+2n-3=$\frac{（n-1）（1+2n-3）}{2}$=（n-1）²，
又∵a₁=55，
∴a_n=55+（n-1）²=n²-2n+56，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{56}{n}$-2≥2$\sqrt{n•\frac{56}{n}}$-2，当且仅当n=$\frac{56}{n}$即n=2$\sqrt{14}$时取等号，
∵6＜2$\sqrt{14}$＜8，∴n取7时$\frac{{a}_{n}}{n}$最小，
∴$\frac{{a}_{7}}{7}$=7+$\frac{56}{7}$-2=13，
故答案为：13．

点评 本题考查数列的通项，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．