题目内容

已知函数为自然对数的底数).
(1)求曲线处的切线方程;
(2)若的一个极值点,且点满足条件:.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)若点是三个不同的点, 判断三点是否可以构成直角三
角形?请说明理由。
(1);(2);点可构成直角三角形.

试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,将切点的横坐标1代入到中得到切线的斜率,代入到中得到切点的纵坐标,从而利用点斜式得到切线方程;第二问,先求函数的定义域,令,得到方程的根,将定义域断开,判断函数的单调性,从而求出函数极值;第三问,先排除几个特例情况,在一般情况中,要证明三角形为直角三角形,只需判断2边垂直,用向量垂直的充要条件证明即可.
试题解析:(1),又,所以曲线处的切线方程为,即
(2)(ⅰ)对于,定义域为
时,,∴
时,;当时,,∴
所以存在唯一的极值点,∴,则点
(ⅱ)若,则,与条件不符,
从而得.同理可得
,则,与条件不符,从而得
由上可得点两两不重合.


从而,点可构成直角三角形.
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