题目内容
【题目】设是由
个有序实数构成的一个数组,记作:
.其中
称为数组
的“元”,
称为
的下标,如果数组
中的每个“元”都是来自数组
中不同下标的“元”,则称
为
的子数组.定义两个数组
,
的关系数为
.
(1)若,
,设
是
的含有两个“元”的子数组,求
的最大值;
(2)若,
,且
,
为
的含有三个“元”的子数组,求
的最大值;
(3)若数组中的“元”满足
,设数组
含有四个“元”
,且
,求
与
的所有含有三个“元”的子数组的关系数
(
)的最大值.
【答案】(1)2(2)1(3)
【解析】
(1)根据题中“元”的定义,列出所有的含有两个“元”的子数组,当取到
时,取到最大值;
(2)需要进行分类讨论,分为中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论,再结合不等式性质进行合理放缩即可求得最值;
(3)可以借鉴(2)中解题方法,分为和
两种情况,再结合基本不等式性质经行求解即可
(1)由题,列出所有符合题意的子数组:,
,
,
,
,
,由定义
,
,计算可得,当
时,
;
(2)由,
可知,实数
具有对称性,故分为
中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论;
①当0是中的“元”时,由于
中的三个“元”都相等及
中三个“元”
的对称性,可只计算
的最大值,
,
由可得
,
故当时
达到最大值
,故
;
②当不是中的“元”时,
又,根据同向可加性可得
,即
,则
,当且仅当
时,取到最大值,故
;
综上所述,;
(3)解法和(2)接近,,
,根据
及
的对称性,分为
和
两种情况进行求解;
当时,为了保证不等式的等价性,需对
做变形处理,得
,此时
,当且仅当
时等号成立;
;
当时,
,此时,
综上所述,
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