Question

【题目】已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．

（1）求角A；

（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（2）．

【解析】

（1）化边为角，利用两角和正弦公式，即可求解；

（2）由正弦定理求出，和角应用余弦定理建立关系，再由基本不等式求出最大值，即可求出结论.

（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，

∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，

可得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB，

∵sinB≠0，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A，

（2）∵△ABC的外接圆面积为π，

∴△ABC的外接圆半径为1，∵，∴a，

∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，

可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，

∴bc≤3，当且仅当b＝c等号成立，

∴S△ABCbcsinA，当且仅当b＝c等号成立，

∴S△ABC的最大值为．