题目内容
【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，
，
，
平面PAB，D，E分别是AC，BC上的点，且
平面PAB.
（1）求证
平面PDE；
（2）若D为线段AC中点，求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）根据面面平行的性质定理证得
，再利用线面平行的判定定理证得
平面
.
（2）建立空间直角坐标系，利用直线
的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值.
（1）因为
平面
，
平面
，平面
平面
，所以.因为
平面，平面，所以平面.
（2）因为平面
平面，取
中点
，连接
.因为
，所以
，所以
平面，以为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立如图所示空间直角坐标系.不妨设
，则
，
，则
，
，
，则
，
.设平面的法向量为
，则
，令
，则
，所以
.设直线与平面所成角为
，则
.所以直线与平面所成角的正弦值为.
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