题目内容
【题目】设椭圆的右焦点为
,直线
与
轴交于点
,假设
(其中
为坐标原点)
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上的任意一点,
为圆
的任意一条直径(
、
为直径的两个端点),求
的最大值
【答案】(1)(2)11
【解析】
(1)先求出坐标,再由
,联立求解,即可求得
,进而求得标准方程;
(2)解法不唯一,可采用方法1中的向量法进行转化;也可采用方法2,纯代数运算,分别表示出点,其中
的中点坐标为
,可得
,再表示出
的坐标表达式,结合二次函数最值可求解;还可采用分类讨论直线斜率是否存在的方法,求出直线与圆的点坐标
,再结合
的坐标运算及二次函数性质即可求解;
(1)由题设知,,
,由
,得
解得
、因此椭圆
的方程为
;
(2)方法1:设圆的圆心为
,
那么,
从而求的最大值转化为求
的最大值,
因为是椭圆
上的任意一点,设
,因此
,即
,
因为,因此
,
因为,因此当
时,
取得最大值12,
因此的最大值为11;
方法2:设点,
因为的中点坐标为
,因此
因此,
,
,
,
因为点在圆
上,因此
,即
,
因为点在椭圆
上,因此
,即
,
因此,
因为,因此当
时,
;
方法3:①假设直线的斜率存在,设
的方程为
,
由,解得
,
因为是椭圆
上的任一点,设点
,
因此,即
,
因此,
因此,
因为,因此当
时,
取得最大值11;
②假设直线的斜率不存在,则
的方程为
,
由,解得
或
,
不妨设,,
,
因为是椭圆
上的任一点,设点
,
因此,即
,
因此,
,
因此,
因为,因此当
时,
取得最大值11,
综上可知,的最大值为11

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