Question

如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.

（1）求证：平面；
（2）求证：面；
（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）由四边形为矩形得到，再结合直线与平面平行的判定定理即可证明平面；（2）先证平面，进而得到，再由四边形为菱形得到
，最后结合直线与平面垂直的判定定理证明平面；（3）由平面，从而将三棱锥的高转化为点到平面的距离，计算出高后再利用锥体体积的计算公式计算三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：四边形为矩形，，
平面，平面，平面；
（2）证明：在中，，，
满足，所以，即，
又因为四边形为矩形，所以，
又，所以面，
又因为面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
又，所以面；
（3））解：过作于，
由第（1）问已证面，面，，平面，
由题设知，，
三棱锥的体积是.