Question

4．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料知y对x成线性相关关系、试求：
（1）线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的回归系数$\stackrel{∧}{b}$与$\stackrel{∧}{a}$
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？（参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值．
（2）根据第一问做出的a，b的值，写出线性回归方程，当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解：（1）由题意知$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，
b=$\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{5.6+1.2+0+1.5+4}{4+1+0+1+4}$=1.23，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=5-4×1.23=0.08，
∴$\widehat{y}$=1.23x+0.08，
（2）根据第一问知线性回归方程是$\widehat{y}$=1.23x+0.08，
当自变量x=10时，预报维修费用是$\widehat{y}$=1.23×10+0.08=12.38，
即当使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．