题目内容
已知函数
,其中
,记函数
的定义域为D.
(1)求函数
的定义域D;
(2)若函数
的最小值为
,求
的值;
(3)若对于D内的任意实数
,不等式
<
恒成立,求实数
的取值范围.



(1)求函数

(2)若函数



(3)若对于D内的任意实数




(1)
(2)
(3) (-∞,
)∪[
,+∞)

(2)

(3) (-∞,


试题分析:解:(1)要使函数有意义:则有


∴ 函数的定义域D为

(2)






由



(注:


(3)由题知-x2+2mx-m2+2m<1在x∈



令g(x)=x2-2mx+m2-2m+1,x∈

配方得g(x)=(x-m)2-2m+1,其对称轴为x=m,
当m≤-3时, g(x)在

∴g(-3)= (-3-m)2-2m+1= m2+4m +10≥0,
而m2+4m +10≥0对任意实数m恒成立,∴m≤-3. 10分
②当-3<m<1时,函数g(x)在(-3,-1)为减函数,在(-1, 1)为增函数,
∴g(m)=-2m+1>0,解得m<


③当m≥1时,函数g(x)在

解得m≥



综上可得,实数m的取值范围是 (-∞,


点评:解决的关键是利用函数的概念以及分离参数的思想来借助于二次函数的最值得到参数的范围。属于基础题。

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