Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线平行于轴.

（1）求的单调区间；

（2）证明：当时，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）递减区间为，递增区间为；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）本题首先由导数的几何意义知，从而求得值，然后通过确定增区间，确定减区间；（2）考虑到，因此首先证明特殊情况，的情况，此时研究函数，求出导函数，为了确定的正负，设并求导得，考虑到式子中的，可分类证明和时都有，即单调递增，因此即只有唯一解，正负随之而定，从而得，于是结论得证．再由不等式的性质也得证．

试题解析：（1）由，依题意，，有，所以，显然在上单调递增，且，故当，当，所以函数的递减区间为，递增区间为.

（2）设.

①当时，，设则.

当时，，当时，，则，所以单增且故当，当 ，所以.

②时，因为所以

有①知

综上所述，当时，恒成立.