题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
,点
为边
的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)由题意,平面
,得
,又△
为等边三角形,得
,
与
相交于点
,利用线面垂直的判定定理得
平面
,再由面面垂直的判定定理,即可得到结论.
(2)由(1)可知,以点为坐标原点,直线
为
轴,直线
为
轴,过点
且与平面
垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可得到二面角的余弦值.
详解:(1)由题意,平面
,
平面
,可得
,又△
为等边三角形,点
为
边的中点,可得
,
与
相交于点
,则
平面
,
平面
,所以,平面
平面
.
(2)由(1)可知,在直角三角形中,
,
,可得
,以点
为坐标原点,直线
为
轴,直线
为
轴,过点
且与平面
垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系.
可得,
,
,
,
,
,
,
,
设为平面
的一个法向量,则
,得
,
同理可得,为平面
的一个法向量,
设二面角的平面角为
,
,
所以,二面角余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况,按照分层抽样的方法,从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组,利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后,两组各自将预测成绩统计分析如下表:
分组 | 人数 | 平均成绩 | 标准差 |
正科级干部组 | 80 | 6 | |
副科级干部组 | 70 | 4 |
(1)求;
(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分和标准差
;
(3)假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分布,用样本平均数
作为
的估计值
,用样本标准差
作为
的估计值
.利用估计值估计:该区科级干部“党风廉政知识”预测成绩小于60分的约为多少人?
附:若随机变量服从正态分布
,则
;
;
.