Question

14．如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M，N分别是BC，AD的中点，若异面直线AB与CD所成的角为60°时，求MN的长．

Answer 1

分析 取BC中点P，连接PN，MP，可得NP=4，MP=4，∠MPN（或其补角）为AB与CD成的角，再利用余弦定理，可求MN．

解答 解：取BC中点P，连接PN，MP
因为M，N分别为BC和AD的中点，所以PN和MP分别是△ABD和△BCD的中位线
所以NP平行且等于$\frac{1}{2}$AB，MP平行且等于$\frac{1}{2}$CD，
所以NP=4，MP=4，∠MPN（或其补角）为AB与CD成的角，
因为AB与CD成60°角，
所以∠MPN=60°或120°
根据余弦定理：MN²=MP²+NP²-2MP×NP×cos∠MPN
所以MN²=16+16-2×4×4×0.5=16或MN²=16+16+2×4×4×0.5=48
所以MN=4或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关键．