题目内容

19.在直角坐标平面内,曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=rcosα\\ y=rsinα\end{array}\right.$(r>0,α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A、B的极坐标分别为$(2\;,\;\frac{2π}{3})$、(2,π),若直线AB和曲线C只有一个公共点,则r=$\sqrt{3}$.

分析 化圆的参数方程为普通方程,化直线的极坐标方程为直角坐标方程,由圆心到直线的距离等于圆的半径得答案.

解答 解:由$\left\{\begin{array}{l}x=rcosα\\ y=rsinα\end{array}\right.$,得x2+y2=r2
由A$(2\;,\;\frac{2π}{3})$、B(2,π),得A(-1,$\sqrt{3}$),B(-2,0).
∴直线AB的方程为$\frac{y}{\sqrt{3}}=\frac{x+2}{-1+2}$,整理得:$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$.
∵直线AB和曲线C只有一个公共点,∴$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{3}=r$.
故答案为:$\sqrt{3}$.

点评 本题考查参数方程化普通方程,考查极坐标方程化直角坐标方程,训练了点到直线距离公式的应用,是基础的计算题.

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