Question

19．在直角坐标平面内，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=rcosα\\ y=rsinα\end{array}\right.$（r＞0，α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A、B的极坐标分别为$（2\;，\;\frac{2π}{3}）$、（2，π），若直线AB和曲线C只有一个公共点，则r=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 化圆的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x=rcosα\\ y=rsinα\end{array}\right.$，得x²+y²=r²．
由A$（2\;，\;\frac{2π}{3}）$、B（2，π），得A（-1，$\sqrt{3}$），B（-2，0）．
∴直线AB的方程为$\frac{y}{\sqrt{3}}=\frac{x+2}{-1+2}$，整理得：$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$．
∵直线AB和曲线C只有一个公共点，∴$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}=\sqrt{3}=r$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线距离公式的应用，是基础的计算题．