题目内容
【题目】已知函数.
(1)证明:当时,恒成立;
(2)若函数在上只有一个零点,求的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)或
【解析】
(1)对函数求导,得到函数的最小值为2,即可证明.
(2对a分类讨论,易得a=0时无零点,a<0和a>0时求函数的导数,判断函数的单调性和极值,通过分析特殊点的函数值即可得到结论.
(1)f′(x)=,
令f′(x)=0,得到x=0,
当x<0时,f′(x)<0,单调递减,
当x>0时,f′(x)>0,单调递增, ∴在x=0处取得最小值.
,
∴.
(2)当a=0时,>0恒成立,无零点,与题意不符;
当a<0时,f′(x)=,在R上单调递增,
又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时,=e>0,
根据零点存在性定理,在R上有唯一零点,
当a>0时,f′(x)=
令f′(x)=,x=lna,
,f(x)单减,
,f(x)单增,
在x=lna处取得最小值,f(lna)=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0,
Lna=2,所以a=
∴当a<0或a=时,在R上有唯一的零点.
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