题目内容

【题目】已知函数

(1)证明:当时,恒成立;

(2)若函数上只有一个零点,求的取值范围.

【答案】(1)详见解析(2)

【解析】

(1)对函数求导,得到函数的最小值为2,即可证明.

(2对a分类讨论,易得a=0时无零点,a<0和a>0时求函数的导数,判断函数的单调性和极值,通过分析特殊点的函数值即可得到结论.

(1)f′(x)=

f′(x=0,得到x=0,

当x<0时,f′(x)<0,单调递减,

当x>0时,f′(x)>0,单调递增,在x=0处取得最小值.

,

.

(2)当a=0时,>0恒成立,无零点,与题意不符;

当a<0时,f′(x)=,在R上单调递增,

又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时,=e>0,

根据零点存在性定理,在R上有唯一零点,

当a>0时,f′(x)=

f′(x)=,x=lna,

,f(x)单减,

,f(x)单增

x=lna处取得最小值,f(lna)=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0,

Lna=2,所以a=

当a<0或a=时,R上有唯一的零点.

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