题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数的最大值是
,求
的值;
(3)已知,若存在两个不同的正数
,当函数
的定义域为
时,
的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)时写出函数表达式,根据真数范围求解函数值域即可。(2)设
换元真数部分为关于
的一元二次函数,又
有最大值,所以开口只能向下,即
,在对称轴处取得最大值,即可求出
的范围。(3)较易判断
为增函数,函数
的定义域为
时,
的值域为
可理解为函数
与
有两个交点正数交点
,
,另外将
进行换元即可转化成关于
的一个一元二次函数求解。
(1)时,
因为,所以
所以此时的值域是
。
(2)设,则
,若此时
,开口向上没有最大值。由第一问可知)
时也不满足,所以开口只能向下,即
且此时对称轴
。
当时,最大值在对称轴处取得,
即
解出 或
(舍)
所以。
(3)当时,设
,设真数为
,此时对称轴
,所以当
时m为增函数,即
为增函数。
所以函数的定义域为
时,
的值域为
,可理解为函数
与
有两个交点正数交点
,
,
即有两个正根。
即,设
所以
即有两个大于1的根。
所以此时只需即可,即
又,所以
。
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