题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
经过抛物线
与坐标轴的三个交点.
(1)求圆的方程;
(2)经过点的直线
与圆
相交于
,
两点,若圆
在
,
两点处的切线互相垂直,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)
和
.
【解析】
(1)方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点,设出圆的一般式方程,代入三点坐标,解方程组可得D,E,F,即可得到所求圆方程;方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程,可令y=0,可得D,F,再由抛物线与y轴的交点,可得E,即可得到所求圆方程;
(2)求圆C的圆心和半径,圆C在A,B两点处的切线互相垂直,可得∠ACB,求得C到直线l的距离,讨论直线l的斜率是否存在,由点到直线的距离公式,计算可得所求直线方程.
(1)方法一:抛物线与坐标轴的三个交点坐标为
,
,
.
设圆的方程为
,
则 , 解得
所以圆的方程为
.
方法二:设圆的方程为
.
令,得
.
因为圆经过抛物线
与
轴的交点,
所以与方程
同解,
所以,
.
因此圆.
因为抛物线与
轴的交点坐标为
,
又所以点也在圆
上,所以
,解得
.
所以圆的方程为
.
(2)由(1)可得,圆:,
故圆心,半径
.
因为圆在
,
两点处的切线互相垂直,所以
.
所以到直线
的距离
.
① 当直线的斜率不存在时,
,符合题意;
② 当直线的斜率存在时,设
,即
,
所以,解得
,
所以直线,即
.
综上,所求直线的方程为
和
.
方法三:①当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
,
,将直线
的方程代入圆
的方程得:
,
即
,
.
因为圆在点
,
两点处的切线互相垂直,所以
,
所以,即
,
所以,
即,
即,
,
即,解得
,所以直线
:
,
即.
②当直线的斜率不存在时,
:
,符合题意;
综上,所求直线的方程为
和
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目