题目内容
设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.
⑴已知函数.求证:为曲线的“上夹线”.
⑵观察下图:
根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
⑴已知函数.求证:为曲线的“上夹线”.
⑵观察下图:
根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
(1)见解析(2)见解析
⑴由得,当时,,
此时,,
,所以是直线与曲线的一个切点;
当时,,此时,,
,所以是直线与曲线的一个切点;
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
对任意x∈R,,所以
因此直线是曲线的“上夹线”.(6分)
⑵推测:的“上夹线”的方程为
①先检验直线与曲线相切,且至少有两个切点:设:
,令,得:(kZ)
当时,
故:过曲线上的点(,)的切线方程为:
y-[]= [-()],化简得:.
即直线与曲线相切且有无数个切点.不妨设
②下面检验g(x)F(x) g(x)-F(x)=
直线是曲线的“上夹线”. (13分)
此时,,
,所以是直线与曲线的一个切点;
当时,,此时,,
,所以是直线与曲线的一个切点;
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
对任意x∈R,,所以
因此直线是曲线的“上夹线”.(6分)
⑵推测:的“上夹线”的方程为
①先检验直线与曲线相切,且至少有两个切点:设:
,令,得:(kZ)
当时,
故:过曲线上的点(,)的切线方程为:
y-[]= [-()],化简得:.
即直线与曲线相切且有无数个切点.不妨设
②下面检验g(x)F(x) g(x)-F(x)=
直线是曲线的“上夹线”. (13分)
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