Question

19．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦点，AB为过点F₂且斜率为1的弦，则$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的值为$\frac{46}{5}$．

Answer 1

分析 由椭圆方程求出椭圆左右焦点的坐标，得到直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出A，B两点横坐标的和与积，再由向量数量积的坐标运算求得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的值．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，知a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，则c=$\sqrt{3}$．
∴${F}_{1}（-\sqrt{3}，0），{F}_{2}（\sqrt{3}，0）$，
则AB所在直线方程为y-0=1×（x-$\sqrt{3}$），即y=x-$\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$5{x}^{2}-8\sqrt{3}x+8=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8}{5}$．
$\overrightarrow{{F}_{1}A}=（{x}_{1}+\sqrt{3}，{y}_{1}），\overrightarrow{{F}_{1}B}=（{x}_{2}+\sqrt{3}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3+{y}_{1}{y}_{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3+{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3$
=$2{x}_{1}{x}_{2}+6=2×\frac{8}{5}+6=\frac{46}{5}$．
故答案为：$\frac{46}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查平面向量的数量积运算，是中档题．