题目内容
【题目】设函数,
,
.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数有两个零点,试求
的取值范围;
(3)证明.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:
(1)求出导数,计算
得切线斜率,由点斜式写出直线方程,整理成一般式即可;
(2)函数有两个零点,首先用导数来研究函数的性质:单调性、极值,然后由零点存在定理进行判断,求出
,按
分类讨论,
时,
只有一个零点;
时,
,这样易判断
的正负,从而得
的单调区间和极值,由零点存在定理可判断符合题意;在
时,
有两个解
和
,又要按
的大小分类研究
的正负得
的单调性,从而确定零点个数,最后综合可得;
(3)证明函数不等式,可证
,设
,利用导数
求出
的最大值,只要最大值小于等于0,即证.
试题解析:
(1)函数的定义域是
,
.
当时,
,
.
所以函数在点
处的切线方程为
.
即.
(2)函数的定义域为
,由已知得
.
①当时,函数
只有一个零点;
②当,因为
,
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
又,
,
因为,所以
,
所以
,所以
取,显然
且
所以,
.
由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点.
③当时,由
,得
,或
.
当
,则
.
当变化时,
,
变化情况如下表:
注意到,所以函数
至多有一个零点,不符合题意.
当
,则
,
在
单调递增,函数
至多有一个零点,不符合题意.
若,则
.
当变化时,
,
变化情况如下表:
注意到当,
时,
,
,所以函数
至多有一个零点,不符合题意.
综上, 的取值范围是
.
(3)证明: .
设,其定义域为
,则证明
即可.
因为,取
,则
,且
.
又因为,所以函数
在
上单增.
所以有唯一的实根
,且
.
当时,
;当
时,
.
所以函数的最小值为
.
所以.
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.