题目内容
【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C＝sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A．
（1）证明：△ABC是正三角形；
（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC＝2CD，AD
，求sin∠BAD的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
（1）由已知利用正弦定理可得
，再配方得
，则
，因此
是正三角形；
（2）由已知条件可得
，
，再由余弦定理可得
，又
，利用正弦定理即可得到结论.
（1）证明：∵sin2A+sin2B+sin2C＝sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A
∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，BC＝2CD，
∴AC＝2CD，∠ACD＝120°，
∴在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2+CD2﹣2ACCDcos∠ACD，
∴7＝4CD2+CD2﹣4CDCDcos120°，∴CD＝1，
在△ABC中，BD＝3CD＝3，
由正弦定理，得sin∠BAD
．
【题目】受电视机在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台电视机的利润与该电视机首次出现故障的时间有关.某电视机制造厂生产甲、乙两种型号电视机，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种型号电视机中各随机抽取50台，统计数据如下：
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出现故障时间x（年） |
|
|
|
|
|
电视机数量（台） | 3 | 5 | 42 | 8 | 42 |
每台利润（千元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.8 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲种型号电视机中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）该厂预计今后这两种型号电视机销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号电视机，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种型号电视机？说明理由.
【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得：
，
，
线性回归模型的残差平方和
，
，
其中
分别为观测数据中的温度和产卵数，
（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程
（精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为
，且相关指数
.
①试与1中的回归模型相比，用
说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数（结果取整数）
附：一组数据
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为
，
；相关指数
.
