Question

【题目】已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在上有零点，求的取值范围；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．

【解析】

试题（1）根据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分离参数法求k的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）设 ,则，

a=3, ，　

，

因为是奇函数，所以，即 ,

∴，又，

；

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点，

从而，即，

∴，　∴，

∴k的取值范围为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

∴在R上为减函数（不证明不扣分）．

又因是奇函数，

所以=，

因为减函数，由上式得：,

即对一切，有恒成立，

令m(x)=,,易知m(x)在上递增，所以，

∴，即实数的取值范围为．