题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)令,可将已知三角函数关系
转换成代数函数关系
,试写出函数
的解析式及定义域;
(2)求函数的最大值;
(3)函数在区间
内是单调函数吗?若是,请指出其单调性;若不是,请分别指出其单调递增区间和单调递减区间(不需要证明).
(参考公式:)
【答案】(1)(
);(2)
;(3)不是单调函数,在
单调递增,
单调递减.
【解析】
(1)对t=sinx+cosx两边平方得2sinxcosx=t2﹣1,代入f(x)即可得出g(t)的解析式,由t=sinx+cosxsin(x
)得出t的取值范围;
(2)化简g(t),判断g(t)的单调性得出g(t)的最大值,即f(x)的最大值;
(3)判断f(x)的极大值点是否为区间(0,)的端点即可.
(1)∵t=sinx+cosx,
∴t2=1+2sinxcosx,
∴2sinxcosx=t2﹣1.
∴f(x).
即g(t).
∵t=sinx+cosxsin(x
).
∵x∈(0,),
∴x∈(
.
).
∴1<t.
∴g(t)的定义域为(1,].
(2)g(t)t
1
t
.
∵y=t和y在(1,
]上是增函数,
∴g(t)在(1,]上是增函数.
∴当t时g(t)取得最大值g(
)
.
∴f(x)的最大值是.
(3)f(x)在(0,)上不是单调函数.
由(2)可知当t时f(x)取得最大值,
即t=sinx+cosxsin(x
)
.
∴x,于是x
.
∴fmax(x)=f(),
∴f(x)在(0,)上不是单调函数.在(0,
)上单调递增,在(
,
)上单调递减.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数 | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求 线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验;
(Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率;
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出 关于
的线性回归方程 ;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人, 则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
附:对于一组数据,
,…,(
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.