题目内容
【题目】已知椭圆:
的左
、
右焦点分别为,点
在椭圆上,且满足
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设倾斜角为的直线
与
交于
,
两点,记
的面积为
,求
取最大值时直线
的方程.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
(1)根据点在椭圆上,且满足
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
,即可得椭圆
的方程;(2)设直线
的方程为
.
联立消去
,整理得
,由韦达定理,利用弦长公式、点到直线距离公式以及三角形的面积公式求得
,利用基本不等式可得结果.
(1)设,
,根据题意的,
,
,
所以,解得
,
因为,①
又因为点在椭圆
上,所以
,②
联立①②,解得,
,
所以椭圆的方程为
.
(2)因为直线的倾斜角为45°,所以设直线
的方程为
.
联立消去
,整理得
因为直线与
交于
两点,
所以,解得,
.
设,,则
,
,
从而,.
又因为点到直线
的距离
,
所以,
当且仅当,即
,即
时取等号.
所以的面积
的最大值为
,
此时直线的方程为
或
.
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