题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx,其中a>0.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的极值和最值.
【答案】(1)f(x)的单调减区间为(0,2),增区间为[2,+∞);(2)f(x)的极小值为f(2)=ln2,无极大值;最小值ln2,最大值1.
【解析】
(1)先求导,由曲线在点
处的切线与直线
垂直可得
,即可解得
,再分别令
和
,即可求解;
(2)由(1)可知f(x)的极小值为f(2),无极大值,再将极值与端点值比较求得最值即可.
(1)由题,(x>0),
因为曲线在点
处的切线与直线
垂直,
所以,解得a=2,
所以,
令得0<x<2,令
得x>2,
所以f(x)的单调减区间为(0,2),增区间为[2,+∞)
(2)由(1)可得f(x)在(1,2)上递减,在(2,e)上递增,
故f(x)的极小值为f(2)=ln2,无极大值;
又因为f(1)=1,f(e),f(2)=ln2,
所以f(x)的最小值为ln2,最大值为1.

【题目】世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该所大学共有学生
人,试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在范围内的
名学生中有
名女生,
名男生,现想选其中
名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.