题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是边长为
的菱形,
,
,
为
中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,
,
的交点记为
,求证
平面
;
(3)在(2)的条件下求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的性质可得,根据菱形的性质可得
,由线面垂直的判定定理可得
面
,根据面面垂直的判定定理可得结果;(2)由
,
为
中点,可得
,由(1)知
,利用线面垂直的判定定理可得结论;(3)先证明
面
,则
,利用棱锥的体积公式可得结果.
试题解析:(1)设,连结
,
∴,
为
中点,
∴,
又∵底面为菱形,
∴,
∵,
∴面
,
又∵面
,
∴面面
.
(2)∵,
为
中点,
∴,
又∵,
,
∴面
.
(3)过作
于
,
∴,
又∵面
,
面
,
∴
.
【方法点晴】本题主要考线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等积变换求棱锥体积,属于难题.解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理;证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质
;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
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