题目内容
【题目】(本小题满分12分)
已知函数是奇函数,
的定义域为
.当
时,
.(e为自然对数的底数).
(1)若函数在区间
上存在极值点,求实数
的取值范围;
(2)如果当x≥1时,不等式恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据题意求出x>0时函数的解析式,对函数求导,得到唯一的极值点1,使得1在所给区间内即可;(2),令
,对函数求导研究函数的单调性得到函数的最值进而求解.
设x>0时,结合函数的奇偶性得到:
(1)当x>0时,有,
;
所以在(0,1)上单调递增,在
上单调递减,函数
在
处取得唯一的极值.由题意
,且
,解得所求实数
的取值范围为
(2)当时,
令,由题意,
在
上恒成立
令,则
,当且仅当
时取等号.
所以在
上单调递增,
因此,
在
上单调递增,
.
所以.所求实数
的取值范围为
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