题目内容
【题目】已知函数的值域为
,记函数
.
(1)求实数的值;
(2)存在使得不等式
成立,求实数
的取值范围;
(3)若关于的方程
有5个不等的实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)1,(2) ,(3)
【解析】
(1)利用配方法,结合二次函数的性质求得的值.
(2)将原问题转化为“存在成立”,利用换元法,结合二次函数的性质,求得
的取值范围.
(3)首先判断不是方程的根. 当
时,利用换元法
,将原方程转化为
.通过研究
的单调性和值域,结合方程根的个数,求得
的取值范围,由此求得
的取值范围.
(1)因为,
即有时,
,
即,解得
.
.
(2)由已知可得,
由可转化为,存在
成立,
令,
则问题转化为存在使不等式
成立,
记,则
.
(3)当,2时,
,所以
不是方程的根;
当时,令
,
则当时,
单调递减,且
,
当单调递增,且
,
当时,
单调递减,且
,
当时,
单调递增,且
,
故原方程有5个不等实根可转化为
即为,
所以或
,
当,方程有3个不等根,
故要使得原方程有5个不等实根,只要,即
,
所以的取值范围是
.
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