题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，D是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）若
是边长为2的正三角形，且
，
，平面
平面
.求平面与侧面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接
，记
，连接
，证明
得到答案.
（2）证明
，
，
两两互相垂直，建立空间直角坐标系，计算平面
和平面
的法向量，利用向量夹角公式得到答案.
（1）连接，记，连接，故
为中点，
D是
的中点，所以，又
平面，
平面.
故
平面.
（2）取边中点点O，连接，
，因为
，
为等边三角形，
，所以
，
，
又平面
平面，且平面
平面
，
平面，所以，，两两互相垂直.
故以O为原点，建立空间直角坐标系
如图所示：
则由题意可知
，
，
.
设平面的法向量
，则
，即
，
令
，解得
，得
.
显然平面的一个法向量为
.
∴
，
∴二面角的正弦值为
.
名校课堂系列答案
【题目】某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万.
（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％.请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；
实验组 | 对照组 | 合计 | |
有显著疗效 | |||
无显著疗效 | |||
合计 | 200 |
（2）药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：
该疾病患者人数（单位：万） |
|
|
|
最多可运行生产线数 | 1 | 2 | 3 |
每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？
附：参考公式：
，其中
.
| 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【题目】已知直线l：3x+4y+m=0，圆C：x2+y2－4x+2=0，则圆C的半径r=_____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围是____．
【题目】端午节是我国民间为纪念爱国诗人屈原的一个传统节日.某市为了解端午节期间粽子的销售情况，随机问卷调查了该市1000名消费者在去年端午节期间的粽子购买量（单位：克），所得数据如下表所示：
购买量 |
|
|
|
|
|
人数 | 100 | 300 | 400 | 150 | 50 |
将烦率视为概率
（1）试求消费者粽子购买量不低于300克的概率；
（2）若该市有100万名消费者，请估计该市今年在端午节期间应准备多少千克棕子才能满足市场需求（以各区间中点值作为该区间的购买量）.
