Question

3．已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时，f（x）的值域为[-5，1]．
（1）求常数a，b的值；
（2）设 g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）且g（x）的定义域为不等式lg[g（x）]＞0的解集，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）∈[b，3a+b]，又已知-5≤f（x）≤1，从而求得常数a，b的值．
（2）由条件可得4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1＞1，即sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．再结合正弦函数的单调性求得它的单调区间．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴sin （2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2a，a]．
∴f（x）∈[b，3a+b]，又∵-5≤f（x）≤1，
∴b=-5，3a+b=1，因此a=2，b=-5．
（2）由（1）得，f（x）=-4sin （2x+$\frac{π}{6}$）-1，
g（x）=f （x+$\frac{π}{2}$）=-4sin（2x+$\frac{7π}{6}$）-1=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
又由lg g（x）＞0，得g（x）＞1，∴4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1＞1，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
其中当2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，g（x）单调递增，即kπ＜x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴g（x）的单调增区间为（kπ，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
又∵当2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z时，g（x）单调递减，即kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴g（x）的单调减区间为 （kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$，），k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，解三角不等式，正弦函数的单调性，属于中档题．