Question

8．某地区预计从2015年初开始的第x月，商品A的价格f（x）=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）（x∈N，x≤12，价格单位：元），且第x月该商品的销售量g（x）=x+12（单位：万件）．
（1）商品A在2015年的最低价格是多少？
（2）2015年的哪一个月的销售收入最少，最少是多少？

Answer 1

分析 （1）由价格函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）（x∈N，1≤x≤12）是二次函数，可得f（x）的最小值，即价格最低；
（2）销售收入y=f（x）•g（x），整理，得关于x的三次函数，用求导法，可以求出y的最小值，即哪个月销售收入最少．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）=$\frac{1}{2}$[（x-6）²+33]
∴当x=6时，f（x）取得最小值，
即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；…（4分）
（2）设第x月的销售收入为y（万元），依题意有y=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）（x+12）=$\frac{1}{2}$（x³-75x+828），…（6分）
∴y′=$\frac{3}{2}$（x+5）（x-5），…（8分）
∴当1≤x≤5时y′≤0，y递减；…（9分）
当5≤x≤12时y′≥0，y递增，…（10分）
∴当x=5时，y最小，即第5个月销售收入最少．最低销售收入为289万元…（12分）
答：2013年在第5月的销售收入最低．最低销售收入为289万元…（13分）

点评 本题考查了二次函数，三次函数模型的应用，利用求导法求函数的最值时，常用“导数大于0，函数单调增；导数小于0，函数单调减”来判定．